Ecuacion de la Recta

Ecuacion de la Recta: La idea de linea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometria. Se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una unica direccion.
   De acuerdo a uno de los postulados de la Geometria Euclidiana, para determinar una linea recta es necesario dos puntos de un plano.
   La idea de esto es poder encontrar una expresiin algebraica (una funcion) que determine a una recta dada. Dicha expresion algebraica recibe el nombre de ECUACION DE LA RECTA.
Ecuacion Principal de una Recta: Se llama ECUACION PRINCIPAL DE UNA RECTA a una expresion de la forma:

   En que m representa a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posicion, y es el numero en que la recta corta al eje de la ordenadas.
Ejemplos:
1.
usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ (-1, -4) y P₂ (5, 1)

Solucion:
Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).
Como P₁ y P₂pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es:
 
A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2)
A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)
 
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos: y 
 
Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:
ó 
Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.
 2
Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:
a)   La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.
b)   La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.
Sean l₁ yl₂ las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m₁, m y m₂las pendientes de l_1, l y l₂ respectivamente.
 

Como l₁ t l₂ entonces m₁ = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m₁ = -3/4.
se tiene paral_1:
 
y simplificándola se puede escribir en la forma general:
3x + 4y – 11 = 0

b) Como l₂ u l₁, entonces m₂ = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m₂= 4/3.
Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l₂:
y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
3x + 4y – 11 = 0