Matemáticas desde el Chiringuito: la liguilla de Dominó

Ya llega el final del verano (lo sé porque ya se ven los anuncios esos de "La Vuelta al Cole"), pero el chiringuito aún sigue aquí.
En esta ocasión el dueño del chiringuito me buscó para poder resolverle un pequeño problema que se le había planteado. Resulta que, como todos los años, había organizado la Liguilla de Dominó, en la que los participantes, por parejas, juegan una liguilla (ida y vuelta) durante todo el verano.
El problema surgió cuando una pareja tuvo que retirarse antes de tiempo y claro, ahora no sabe cuándo fue. El dueño me comentó que lo que sí sabe es que al final se jugaron un total de 50 partidas y que el número de parejas iniciales fue... le dije que parara, que no necesitaba ya más datos y que podría responderle a cualquier duda.
El dueño, finalmente, me preguntó que si la pareja llegó a jugar la Ida completa o si se retiró antes de finalizarla.
¿Sabríais vosotros responderle al dueño? Y por ciwerto, ¿cuántas parejas comenzaron el torneo?
Pues yo sí que pude responder y, gracias a esta respuesta, mis cañas y sardinillas de la semana final del verano están garantizadas.
Tito Eliatron Dixit  Vota a Tito Eliatron Dixit en los Premios Bitacoras2010, categoría Ciencias